Analiza funkcjonalna

Po zakończonym kursie student:

e1. operuje podstawowymi pojęciami i twierdzeniami dotyczącymi przestrzeni unormowanych i przestrzeni Banacha;

e2. operuje podstawowymi pojęciami i twierdzeniami dotyczącymi przestrzeni unitarnych i przestrzeni Hilberta;

e3. bada ograniczoność i wyznacza normę operatora i funkcjonału liniowego;

e4. wyznacza rzut ortogonalny elementu przestrzeni Hilberta na domkniętą podprzestrzeń liniową;

e5. dokonuje ortogonalizacji układu wektorów przestrzeni unitarnej;

e6. formułuje przedstawione na wykładzie podstawowe twierdzenia analizy funkcjonalnej;

e7. stosuje metody i twierdzenia analizy funkcjonalnej, w szczególności metody i twierdzenia przestrzeni Hilberta, w konkretnych zadaniach analizy matematycznej.

Powyższe efekty kształcenia osiągane w ramach przedmiotu pozwalają na realizację kierunkowych efektów kształcenia, mających następujące oznaczenia w programie Matematyka II stopnia: 1100M-2A_W01, 1100M-2A_W02, 1100M-2A_W03, 1100M-2A_W04, 1100M-2A_U01, 1100M-2A_U02, 1100M-2A_U03, 1100M-2A_U06, 1100M-2A_U10, 1100M-2A_K01, 1100M-2A_K02, 1100M-2A_K05, 1100M-2A_K06.

16

niestacjonarne (zaoczne)

Konwersatorium: kolokwium pisemne.

Wykład: egzamin pisemny.

Podczas kolokwium sprawdzane są efekty kształcenia w zakresie umiejętności (e.3, e.4, e.5).

Podczas egzaminu sprawdzane są efekty kształcenia w zakresie wiedzy (e.1, e.2, e.6, e.7).

Na ocenę końcową z przedmiotu składa się ocena z konwersatorium (50%) i ocena z teorii (50%), pod warunkiem, że obie oceny są pozytywne.

Konwersatorium: kolokwium pisemne.

Wykład: egzamin pisemny.

Na ocenę końcową przedmiotu składają się: ocena z ćwiczeń (50%) oraz ocena z wykładu (50%), pod warunkiem, że obie oceny są pozytywne.

Na kolokwium weryfikowane są efekty kształcenia: e3, e4, e5, e7, a

na egzaminie efekty: e1, e2, e6.

Konwersatorium: kolokwium pisemne.

Wykład: egzamin pisemny.

Na ocenę końcową przedmiotu składają się: ocena z ćwiczeń (50%) oraz ocena z wykładu (50%), pod warunkiem, że obie oceny są pozytywne.

Na kolokwium weryfikowane są efekty kształcenia: e3, e4, e5, e7, a

na egzaminie efekty: e1, e2, e6.

wykład informacyjny (konwencjonalny), wykład konwersatoryjny, praca samodzielna.

1. Przestrzenie unormowane, przestrzenie Banacha i ich podstawowe właasności.

2. Ograniczone operatory i funkcjonały liniowe w przestrzeniach unormowanych.

3. Klasyczne twierdzenia o operatorach i funkcjonałach liniowych w przestrzeniach Banacha.

4. Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.

5. Układy ortogonalne i ortonormalne, bazy ortonormalne.

6. Szeregi Fouriera i zagadnienie najlepszej aproksymacji w przestrzeni Hilberta.

7. Twierdzenie Hahna-Banacha i jego konsekwencje.

8. Twierdzenie Riesza o reprezentacji liniowych, ciągłych funkcjonałów w przestrzeni Hilberta.