Algebra abstrakcyjna

Wykład - wykład ustny.

Konwersatorium - zadania problemowe.

Wykład - Egzamin ustny (tematy na egzamin ustny podane są pod koniec wykładu).

Konwersatorium - referaty z zadań problemowych, aktywność na zajęciach, obecność na zajęciach.

1. Wiadomości wstępne z teorii grup.

2. Dalsze własności grup: twierdzenie Cayleya, struktura grup abelowych skończenie generowanych.

3. Wiadomości wstępne z teorii pierścieni.

4. Dalsze własności pierścieni: ideały pierwsze i maksymalne, pierścienie noetherowskie, twierdzenie Hilberta o bazie.

5. Wiadomości wstępne z teorii ciał.

6. Dalsze własności ciał: rozszerzenia ciał (skończone, algebraiczne, przestępne), informacje o teorii Galois.

1. Opial "Algebra wyższa"

2. Białynicki-Birula "Algebra"

3. Gleichgewicht "Elementy algebry abstrakcyjnej"

4. Kostrikin "Wstęp do algebry"

5. Filipczak "Wykłady z algebry"

6. Rękopis wykładu - dostarczany studentom w formie elektronicznej.

wykład, pogadanka, dyskusja, burza mózgów

Ocena z ćwiczeń to ocena z kolokwium oceniającego efekty kształcenia w zakresie umiejętności (EK2-EK9). Ocena ta może zostać podniesiona maksymalnie o jeden stopień w szczególnych przypadkach (studentom biorącym aktywny udział w ćwiczeniach).

Ocena z wykładu to ocena z pisemnego egzaminu teoretycznego sprawdzającego efekty kształcenia w zakresie wiedzy (EK1).

Zaliczenie ćwiczeń jest warunkiem koniecznym przystąpienia do egzaminu teoretycznego.

Na oceną końcową z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (50%) i ocena z wykładu (50%).

1. Grupy:

– podstawowe pojęcia (grupy abelowe, cykliczne, proste, suma prosta grup, homomorfizmy grup, podgrupy, dzielniki normalne, grupy ilorazowe, twierdzenie Lagrange’a, twierdzenia o izomorfizmach grup)

– twierdzenie Cayleya

– twierdzenie Cauchy’ego dla grup abelowych

– twierdzenie o elemencie maksymalnego rzędu w grupie abelowej

– twierdzenie o strukturze grup abelowych skończenie generowanych

2. Pierścienie (przemienne z 1):

– podstawowe pojęcia (pierścienie, podpierścienie, ideały, pierścienie ilorazowe, homomorfizmy pierścieni, twierdzenie o izomorfizmie pierścieni)

– pierścienie całkowite; twierdzenie o ciele ułamków pierścienia całkowitego

– ideały pierwsze i maksymalne; twierdzenie o ich charakteryzacji

– pojęcie zbioru multyplikatywnego; twierdzenie o istnieniu ideałów pierwszych

– pierścienie noetherowskie; twierdzenie Hilberta o bazie; twierdzenie Cohena

3. Pierścień wielomianów nad ciałem:

– pojęcie NWD i NWW wielomianów; twierdzenie o dzieleniu z resztą, twierdzenie Bézouta o NWD układu wielomianów, istnienie i jednoznaczność NWD, zasadnicze twierdzenie arytmetyki wielomianów

– wielomiany pierwsze a nierozkładalne; twierdzenie o jednoznacznym rozkładzie wielomianu na czynniki nierozkładalne

– pierwiastki wielomianów; pojęcie pochodnej i krotności pierwiastka wielomianu, twierdzenie Bézouta o pierwiastkach wielomianu

4. Ciała:

– włożenia ciał

– rozszerzenia ciał; twierdzenie o stopniu rozszerzenia wieży ciał

– elementy algebraiczne; pojęcie stopnia elementu algebraicznego, twierdzenie o postaci ciała rozszerzonego o element algebraiczny stopnia n, twierdzenie Abela o elemencie pierwotnym; pojęcie elementu przestępnego

– rozszerzenia algebraiczne, algebraiczne domknięcie ciała

5. (Informacyjnie) Twierdzenie Hilberta o zerach

1. Filipczak, F., M.: „Wykłady z algebry”. Wydawnictwo UŁ 2008.

2. Mostowski, A., Stark, M.: „Algebra wyższa cz. 3.”. PWN 1967.

3. Lang, S.: „Algebra”. PWN 1973.

4. Balcerzyk, S., Józefiak, T.: „Pierścienie przemienne”. PWN 1985.

wykład, pogadanka, dyskusja, burza mózgów

Ocena z ćwiczeń to ocena z kolokwium oceniającego efekty kształcenia w zakresie umiejętności (EK2-EK9). Ocena ta może zostać podniesiona maksymalnie o jeden stopień w szczególnych przypadkach (studentom biorącym aktywny udział w ćwiczeniach).

Ocena z wykładu to ocena z pisemnego egzaminu teoretycznego.

Zaliczenie ćwiczeń jest warunkiem koniecznym przystąpienia do egzaminu teoretycznego.

Na oceną końcową z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (50%) i ocena z wykładu (50%).

1. Grupy:

– podstawowe pojęcia (grupy abelowe, cykliczne, proste, suma prosta grup, homomorfizmy grup, podgrupy, dzielniki normalne, grupy ilorazowe, twierdzenie Lagrange’a, twierdzenia o izomorfizmach grup)

– twierdzenie Cayleya

– twierdzenie Cauchy’ego dla grup abelowych

– twierdzenie o elemencie maksymalnego rzędu w grupie abelowej

– twierdzenie o strukturze grup abelowych skończenie generowanych

2. Pierścienie (przemienne z 1):

– podstawowe pojęcia (pierścienie, podpierścienie, ideały, pierścienie ilorazowe, homomorfizmy pierścieni, twierdzenie o izomorfizmie pierścieni)

– pierścienie całkowite; twierdzenie o ciele ułamków pierścienia całkowitego

– ideały pierwsze i maksymalne; twierdzenie o ich charakteryzacji

– pojęcie zbioru multyplikatywnego; twierdzenie o istnieniu ideałów pierwszych

– pierścienie noetherowskie; twierdzenie Hilberta o bazie; twierdzenie Cohena

3. Pierścień wielomianów nad ciałem:

– pojęcie NWD i NWW wielomianów; twierdzenie o dzieleniu z resztą, twierdzenie Bézouta o NWD układu wielomianów, istnienie i jednoznaczność NWD, zasadnicze twierdzenie arytmetyki wielomianów

– wielomiany pierwsze a nierozkładalne; twierdzenie o jednoznacznym rozkładzie wielomianu na czynniki nierozkładalne

– pierwiastki wielomianów; pojęcie pochodnej i krotności pierwiastka wielomianu, twierdzenie Bézouta o pierwiastkach wielomianu

4. Ciała:

– włożenia ciał

– rozszerzenia ciał; twierdzenie o stopniu rozszerzenia wieży ciał

– elementy algebraiczne; pojęcie stopnia elementu algebraicznego, twierdzenie o postaci ciała rozszerzonego o element algebraiczny stopnia n, twierdzenie Abela o elemencie pierwotnym; pojęcie elementu przestępnego

– rozszerzenia algebraiczne, algebraiczne domknięcie ciała

5. (Informacyjnie) Twierdzenie Hilberta o zerach

1. Filipczak, F., M.: „Wykłady z algebry”. Wydawnictwo UŁ 2008.

2. Mostowski, A., Stark, M.: „Algebra wyższa cz. 3.”. PWN 1967.

3. Lang, S.: „Algebra”. PWN 1973.

4. Balcerzyk, S., Józefiak, T.: „Pierścienie przemienne”. PWN 1985.

wykład, pogadanka, dyskusja, burza mózgów

Ocena z ćwiczeń to ocena z kolokwium oceniającego efekty kształcenia w zakresie umiejętności (EK2-EK9). Ocena ta może zostać podniesiona maksymalnie o jeden stopień w szczególnych przypadkach (studentom biorącym aktywny udział w ćwiczeniach).

Ocena z wykładu to ocena z pisemnego egzaminu teoretycznego sprawdzającego efekty kształcenia w zakresie wiedzy (EK1).

Zaliczenie ćwiczeń jest warunkiem koniecznym przystąpienia do egzaminu teoretycznego.

Na oceną końcową z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (30%) i ocena z wykładu (70%).

1. Grupy:

– podstawowe pojęcia (grupy abelowe, cykliczne, proste, suma prosta grup, homomorfizmy grup, podgrupy, dzielniki normalne, grupy ilorazowe, twierdzenie Lagrange’a, twierdzenia o izomorfizmach grup)

– twierdzenie Cauchy’ego dla grup abelowych

– twierdzenie o elemencie maksymalnego rzędu w grupie abelowej

– twierdzenie o strukturze grup abelowych skończenie generowanych

2. Pierścienie (przemienne z 1):

– podstawowe pojęcia (pierścienie, podpierścienie, ideały, pierścienie ilorazowe, homomorfizmy pierścieni, twierdzenie o izomorfizmie pierścieni)

– pierścienie całkowite; twierdzenie o ciele ułamków pierścienia całkowitego

– ideały pierwsze i maksymalne; twierdzenie o ich charakteryzacji

– pojęcie zbioru multyplikatywnego; twierdzenie o istnieniu ideałów pierwszych

– pierścienie noetherowskie; twierdzenie Hilberta o bazie; twierdzenie Cohena

3. Pierścień wielomianów nad ciałem:

– pojęcie NWD i NWW wielomianów; twierdzenie o dzieleniu z resztą, twierdzenie Bézouta o NWD układu wielomianów, istnienie i jednoznaczność NWD, zasadnicze twierdzenie arytmetyki wielomianów

– wielomiany pierwsze a nierozkładalne; twierdzenie o jednoznacznym rozkładzie wielomianu na czynniki nierozkładalne

– pierwiastki wielomianów; pojęcie pochodnej i krotności pierwiastka wielomianu, twierdzenie Bézouta o pierwiastkach wielomianu

4. Ciała:

– włożenia ciał

– rozszerzenia ciał; twierdzenie o stopniu rozszerzenia wieży ciał

– elementy algebraiczne; pojęcie stopnia elementu algebraicznego, twierdzenie o postaci ciała rozszerzonego o element algebraiczny stopnia n, twierdzenie Abela o elemencie pierwotnym; pojęcie elementu przestępnego

– rozszerzenia algebraiczne, algebraiczne domknięcie ciała

1. Filipczak, F., M.: „Wykłady z algebry”. Wydawnictwo UŁ 2008.

2. Mostowski, A., Stark, M.: „Algebra wyższa cz. 3.”. PWN 1967.

3. Lang, S.: „Algebra”. PWN 1973.

4. Balcerzyk, S., Józefiak, T.: „Pierścienie przemienne”. PWN 1985.

wykład, pogadanka, dyskusja, burza mózgów

Ocena z ćwiczeń to ocena z kolokwium oceniającego efekty kształcenia w zakresie umiejętności (EK2-EK9). Ocena ta może zostać podniesiona maksymalnie o jeden stopień w szczególnych przypadkach (studentom biorącym aktywny udział w ćwiczeniach).

Ocena z wykładu to ocena z pisemnego egzaminu teoretycznego sprawdzającego efekty kształcenia w zakresie wiedzy (EK1).

Zaliczenie ćwiczeń jest warunkiem koniecznym przystąpienia do egzaminu teoretycznego.

Na oceną końcową z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (30%) i ocena z wykładu (70%).

1. Grupy:

– podstawowe pojęcia (grupy abelowe, cykliczne, proste, suma prosta grup, homomorfizmy grup, podgrupy, dzielniki normalne, grupy ilorazowe, twierdzenie Lagrange’a, twierdzenia o izomorfizmach grup)

– twierdzenie Cauchy’ego dla grup abelowych

– twierdzenie o elemencie maksymalnego rzędu w grupie abelowej

– twierdzenie o strukturze grup abelowych skończenie generowanych

2. Pierścienie (przemienne z 1):

– podstawowe pojęcia (pierścienie, podpierścienie, ideały, pierścienie ilorazowe, homomorfizmy pierścieni, twierdzenie o izomorfizmie pierścieni)

– pierścienie całkowite; twierdzenie o ciele ułamków pierścienia całkowitego

– ideały pierwsze i maksymalne; twierdzenie o ich charakteryzacji

– pojęcie zbioru multyplikatywnego; twierdzenie o istnieniu ideałów pierwszych

– pierścienie noetherowskie; twierdzenie Hilberta o bazie; twierdzenie Cohena

3. Pierścień wielomianów nad ciałem:

– pojęcie NWD i NWW wielomianów; twierdzenie o dzieleniu z resztą, twierdzenie Bézouta o NWD układu wielomianów, istnienie i jednoznaczność NWD, zasadnicze twierdzenie arytmetyki wielomianów

– wielomiany pierwsze a nierozkładalne; twierdzenie o jednoznacznym rozkładzie wielomianu na czynniki nierozkładalne

– pierwiastki wielomianów; pojęcie pochodnej i krotności pierwiastka wielomianu, twierdzenie Bézouta o pierwiastkach wielomianu

4. Ciała:

– włożenia ciał

– rozszerzenia ciał; twierdzenie o stopniu rozszerzenia wieży ciał

– elementy algebraiczne; pojęcie stopnia elementu algebraicznego, twierdzenie o postaci ciała rozszerzonego o element algebraiczny stopnia n, twierdzenie Abela o elemencie pierwotnym; pojęcie elementu przestępnego

– rozszerzenia algebraiczne, algebraiczne domknięcie ciała

1. Filipczak, F., M.: „Wykłady z algebry”. Wydawnictwo UŁ 2008.

2. Mostowski, A., Stark, M.: „Algebra wyższa cz. 3.”. PWN 1967.

3. Lang, S.: „Algebra”. PWN 1973.

4. Balcerzyk, S., Józefiak, T.: „Pierścienie przemienne”. PWN 1985.